Question

設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且點和關(guān)于點對稱.

（Ⅰ）求橢圓的方程；  

（Ⅱ）過右焦點的直線與橢圓相交于，兩點，過點且平行于的直線與橢圓交于另一點，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由點和關(guān)于點對稱，得，       ……………… 1分

  所以橢圓E的焦點為，，                     ……………… 2分

      由橢圓定義，得 .

  所以 ，.                             ……………… 4分

  故橢圓E的方程為.                              ……………… 5分

（II）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平分.    ……………… 6分

      理由如下：

      由題可知直線，直線PQ的斜率存在，

      設(shè)直線的方程為，直線PQ的方程為. …………… 7分

      由   消去，

      得，                        ……………… 8分

      由題意，可知 ，設(shè)，，

      則，，                      ……………… 9分

      由消去,

  得，

      由，可知 ，設(shè)，又，

      則，.                ……………… 10分

      若四邊形的對角線互相平分，則與的中點重合，

      所以，即，                    ……………… 11分

      故.                             ……………… 12分

       所以 .解得 .

       所以直線為時， 四邊形的對角線互相平分.  ……… 14分

      （注：利用四邊形為平行四邊形，則有，也可解決問題）