Question

已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，且AD=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）由倍角公式化簡已知整理可得cosC=

1

2

，由0＜C＜π，可得C的值．
（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理可得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC，即有：4=b²+（

a

2

）²-

ab

2

≥2

a2b2 4

-

ab

2

=

ab

2

，所以ab≤8，由面積公式即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）由4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
可得：4cosC+2cos²C-1=2cosC（1+cosC）…3分
解得：cosC=

1

2

，由0＜C＜π，可得C=

π

3

…6分
（Ⅱ）在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC
即有：4=b²+（

a

2

）²-

ab

2

，…9分
≥2

a2b2 4

-

ab

2

=

ab

2

，所以ab≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)…12分
此時(shí)S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab，其最大值為2

3

…15分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．