Question

（本小題滿分14分）已知橢圓（）經(jīng)過點，離心率為，動點（）．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以（為坐標原點）為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；

（3）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，證明線段的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、圓的標準方程、點到直線的距離、參數(shù)方程、向量垂直的充要條件等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，利用橢圓的離心率和橢圓過的定點，列出方程組，解出a，b，c，從而得到橢圓的標準方程；第二問，通過已知條件先得到圓心和半徑，從而先設出圓的方程，利用點到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，再構(gòu)造三角形解出t，即得到了圓的方程；第三問，可以利用直線的參數(shù)方程，利用兩點間距離公式證明等于定值，也可以利用向量法證明.

試題解析：（1）由題意得 ①

∵橢圓經(jīng)過點，所以 ②

又 ③

由①②③解得，．

∴橢圓的方程為． 4分

（2）以OM為直徑的圓的圓心為，半徑，

故圓的方程為． 5分

∵以為直徑的圓被直線截得的弦長為，

∴圓心到直線的距離． 7分

∴，即，

故，或，

解得，或．

又，故．

∴圓的方程為． 9分

（3）方法一：過點作的垂線，垂足設為．

直線的方程為，直線的方程為．

由，解得，故． 11分

∴；

． 12分

又.

∴．

所以線段的長為定值． 14分

方法二：設，則，，

，．

∵，∴ ．∴ ． 11分

又∵，∴ ．

∴．

∴為定值． 14分

考點：橢圓的標準方程、圓的標準方程、點到直線的距離、參數(shù)方程、向量垂直的充要條件.