Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ABB₁和BCC₁B₁是兩個全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁DB；
（2）求證：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁
（3）（理）設E是CC₁上一點，試確定點E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結AB₁交A₁B于點O，連接OD，利用三角形中位線的性質，證明OD∥CB₁，利用線面平行的判定定理，證明B₁C∥平面A₁DB；
（2）證明AB⊥BC，BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，可得BC⊥平面A₁ABB₁，利用面面垂直的判定定理證明平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁
（3）取CC₁中點E，連接BE，證明DE⊥平面A₁DB，利用面面垂直的判定定理證明平面A₁DB⊥平面BDE．

解答： （1）證明：連結AB₁交A₁B于點O，連接OD，
∴O為AB₁中點，又D為AC中點，
∴在△ACB₁中，OD∥CB₁．
∵CB₁?平面A₁DB，
OD?平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．
（2）證明：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四邊形A₁ACC₁為矩形．
又AC₁⊥平面A₁DB，
A₁D?平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁D．
又D為AC的中點，
∴AA₁：AD=AC：CC₁，

1

2

AC²=AA₁•CC₁=AB²，
∴AC=

2

AB，∴AB⊥BC，
又BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，
又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B．
（3）解：取CC₁中點E，連接BE，
又D為AC中點，
∴在△ACC₁中，DE∥AC₁，
又AC₁⊥平面A₁DB．
∴DE⊥平面A₁DB．
又∵DE?平面BDE，
∴平面A₁DB⊥平面BDE，
即當E為CC₁中點時，平面A₁DB⊥平面BDE．

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行，面面垂直的判定定理是關鍵．