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11.如圖,△ABC是等邊三角形,點D在邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD=7
(Ⅰ)求sinCADsinD的值;
(Ⅱ)求CD的長.

分析 (Ⅰ)由等邊三角形的性質(zhì)及已知可得AC=2CD,進而利用正弦定理即可得解sinCADsinD的值為12
(Ⅱ)設(shè)CD=x,則可求BC=2x,BD=3x,利用余弦定理即可解得x的值,進而得解CD的值.

解答 (本題滿分為13分)
解:(Ⅰ)∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,
又∵BC=2CD,∴AC=2CD,
∴在△ACD中,由正弦定理可得:CDsinCAD=ACsinD
sinCADsinD=CDAC=12
(Ⅱ)設(shè)CD=x,則BC=2x,
∴BD=3x,
∵△ABD中,AD=7,AB=2x,∠B=π3,
∴由余弦定理可得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cos∠B,
即:7=4x2+9x2-2x×3x,解得:x=1,
∴CD=1.

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),正弦定理,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.

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