Question

已知向量

m

=（2sinx，-1），

n

=（2sin（x+

π

6

），

3

），f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x），然后根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系式，即可求函數(shù)f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinx，-1），

n

=(2sin(x+

π

6

)，

3

)，
∴

m

•

n

=4sinx•sin(x+

π

6

)-

3

=4sinx（

3

2

sinx+

1

2

cosx-

3

）
=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

，
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)，
則函數(shù)f（x）最小正周期為

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(2x-

π

3

)，
∴當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，遞增，此時kπ-

π

12

≤x≤kπ

5π

12

，k∈Z
當(dāng)

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，即kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

(k∈Z)時，f（x）遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

12

-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)，k∈Z．
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

](k∈Z)，k∈Z．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．