Question

已知一動(dòng)圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x²+y²-6x-91=0內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線；
（2）直線y=x+1與M的軌跡相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，求PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，設(shè)出動(dòng)圓的圓心與半徑，判斷動(dòng)圓的圓心軌跡，推出結(jié)果即可．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答： 解：（1）圓x²+y²+6x+5=0的圓心為A（-3，0），半徑為2；
圓x²+y²-6x-91=0的圓心為B（3，0），半徑為10；
設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為x；
則MA=2+r，MB=10-r；
于是MA+MB=12＞AB=6
所以，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A（-3，0），B（3，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1
（2）由

y=x+1 x2 36 + y2 27 =1

，消去y得：7x²+8x-104=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點(diǎn)為N（x₀，y₀）；則x1+x2=-

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

4

7

；
∴y₀=x₀+1=

3

7

所以PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

4

7

，

3

7

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．