已知函數(shù)f(x)=lnx+
1
x

(1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程;
(2)若g(x)=f(x)-
1
x
+ax2-2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).其極小值為M,試比較2M與-3的大小,并說明理由;
(3)設(shè)q>p>2,求證:當(dāng)x∈(p,q)時(shí),
f(x)-f(p)
x-p
f(x)-f(p)
x-q
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出f(x)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即得切線的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線的方程;
(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的極小值M,即可比較2M與-3的大。
(3)用分析法證明x∈(p,q)時(shí),
f(x)-f(p)
x-p
>f′(x)
成立,同理證得x∈(p,q)時(shí),f′(x)>
f(x)-f(q)
x-q
成立,即得所證結(jié)論.
解答: 解:(1)∵f(x)=lnx+
1
x
,
f′(x)=
1
x
-
1
x2
,∴f(2)=ln2+
1
2
,f′(2)=
1
4

∴所求的切線方程為y-(ln2+
1
2
)=
1
4
(x-2)
,
即x-4y+4ln2=0;
(2)∵g(x)=ax2-2x+lnx,∴g′(x)=2ax-2+
1
x
=
2ax2-2x+1
x
(x>0)
;
又∵g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),
∴p(x)=2ax2-2x+1=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同的根x1,x2(x1<x2),
則△>0且x1+x2>0,x1x2>0,解得0<a<
1
2

∴g(x)在(0,x1)上遞增,(x1,x2)上遞減,(x2,+∞)上遞增,
∴g(x)的極小值M=g(x2)=a
x
2
2
-2x2+lnx2

又∵2a
x
2
2
-2x2+1=0且x2=
1+
1-2a
2a
∈(1,+∞)
,
M=M(x2)=x2-
1
2
-2x2+lnx2=lnx2-x2-
1
2
(x2>1)
,
M′(x2)=
1-x2
x2
<0

∴M(x2)在(1,+∞)遞減,
M(x2)<M(1)=-
3
2
,故2M<-3;

(3)先證明:當(dāng)x∈(p,q)時(shí),
f(x)-f(p)
x-p
>f′(x)
;
即證:
lnx+
1
x
-lnp-
1
p
x-p
x-1
x2
,
只需證:lnx+
p+2
x
-
p
x2
-lnp-
1
p
-1>0
;
事實(shí)上,設(shè)u(x)=lnx+
p+2
x
-
p
x2
-lnp-
1
p
-1(p<x<q)
,
易得u′(x)=
(x-2)(x-p)
x3
>0
,
∴u(x)在(p,q)內(nèi)遞增,
∴u(x)>u(p)=0,即原式成立; 
同理可證當(dāng)x∈(p,q)時(shí),f′(x)>
f(x)-f(q)
x-q
;
綜上,當(dāng)x∈(p,q)時(shí),
f(x)-f(p)
x-p
f(x)-f(q)
x-q
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線上某一點(diǎn)處的切線方程的問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題,也考查了不等式的證明問題,是綜合性問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
x2,x∈[-1,1]
2-x,x∈[1,2]
,則
2
-1
f(x)dx=( 。
A、
7
6
B、
5
6
C、
4
5
D、
3
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解關(guān)于x的不等式:ax2-x-(a+1)<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在一次口試中,要從20道題中隨機(jī)抽出6道題進(jìn)行回答,答對(duì)了其中的5道就獲得優(yōu)秀,答對(duì)其中的4道題就獲得及格,某考生會(huì)回答20道題中的8道題,試求:
(1)他獲得優(yōu)秀的概率是多少?
(2)他獲得及格與及格以上的概率有多大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷A、B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),當(dāng)投資額為x(x≥0)萬元時(shí),經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元.其中f(x)=x+1;g(x)=
10x+1
x+1
(0≤x≤3)
-x2+9x-12(3<x≤5)
.如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案,使他能獲得最大收益,并求出其最大收益.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率分別為e1、e2的橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)和雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩個(gè)公共頂點(diǎn)為A、B,若P、Q分別為雙曲線C2和橢圓C1上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn),且滿足
AP
+
BP
=λ(
AQ
+
BQ
)(λ∈R,|λ|>1).如果直線AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k1、k2、k3、k4
(1)求證:e12+e22=2;
(2)求證:k1+k2+k3+k4=0;
(3)設(shè)F1、F2分別為橢圓C1和雙曲線C2的右焦點(diǎn),若PF2∥QF1,求k12+k22+k32+k42的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=3x-e.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k∈Z,且k<
f(x)
x-1
對(duì)任意x>1都成立,求k的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在正方形ABCD中,A(-2,1),B(0,2),求點(diǎn)C,D的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=ln(x2+1)-x2的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案