Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，u（x）=ax²-x+

1

2

根據(jù)單調(diào)性可得：當(dāng)a＞1時u（1）＞1；當(dāng)0＜a＜1時，滿足：

0＜a＜1 1 2a ＜1 a( 3 2 )2- 3 2 + 1 2 ＜1

或

0＜a＜1 1 2a ≥1 a( 1 2a )2- 1 2a + 1 2 ＜1

綜合求解，即可得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，u（x）=ax²-x+

1

2

∴當(dāng)a＞1時，x=

1

2

×

1

a

＜1，∴知滿足u（1）＞1，即a-1+

1

2

＞1，a＞

3

2

，
當(dāng)0＜a＜1時，x=

1

2a

，滿足：

0＜a＜1 1 2a ＜1 a( 3 2 )2- 3 2 + 1 2 ＜1

或

0＜a＜1 1 2a ≥1 a( 1 2a )2- 1 2a + 1 2 ＜1

，
解不等式得：

1

2

＜a＜

8

9

，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

3

2

，+∞）∪（

1

2

，

8

9

），
故答案為：（

3

2

，+∞）∪（

1

2

，

8

9

）．

點(diǎn)評：本考查了函數(shù)的單調(diào)性，解不等式等知識，難度較大，屬于中檔題．