Question

與圓類似，連接圓錐曲線上兩點的線段叫做圓錐曲線的弦．過有心曲線（橢圓、雙曲線）中心（即對稱中心）的弦叫做有心曲線的直徑．
對圓x²+y²=r²，由直徑所對的圓周角是直角出發(fā)，可得：若AB是圓O的直徑，M是圓O上異于A、B的一點，且AM，BM均與坐標軸不平行，則k_AM•k_BM=-1．
（1）試根據(jù)點M和直徑AB的特殊位置，寫出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的類似結(jié)論；
（2）對于任意位置滿足條件的點M和直徑AB，判斷并證明（1）中的結(jié)論是否恒成立．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：推理和證明

分析：（1）取AB是橢圓的長軸，M為短軸的一個端點，即可得出結(jié)論；
（2）利用A，B點關(guān)于原點對稱，設出A，B，M三點的坐標，由斜率公式即可求得結(jié)論．

解答： （1）解：結(jié)論；若AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的直徑，M是橢圓上異于A、B的一點，且AM、BM均與坐標軸不平行，則k_AM•k_BM=-

b2

a2

．
（2）證明：設A（x，y），M（x₀，y₀），則B（-x，-y），
∴k_AM•k_BM=

y-y0

x-x0

•

-y-y0

-x-x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=

b2(1- x2 a2 )-b2(1- x 2 0 a2 )

x2- x 2 0

=-

b2

a2

．

點評：本題主要考查利用類比推理，由圓的性質(zhì)類比猜想橢圓的類似性質(zhì)，一般的思路是：點到點，線到線，直徑到直徑等類比后的結(jié)論應該為關(guān)于橢圓的一個類似結(jié)論．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．