Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，過橢圓上一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交橢圓于不同兩點(diǎn)、.

（Ⅰ）求證：直線的斜率為一定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點(diǎn)滿足：，求直線的方程；

（Ⅲ）若在橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為由

所以橢圓方程為．   …………………………………………………3分

設(shè)直線方程為，則直線的方程為，

，

.…………6分

另解：設(shè)直線方程為,

由消去得,，

設(shè)，則，

因?yàn)橹本�的傾斜角互補(bǔ)，所以，，

，

，，解得.

所以直線的斜率為一定值.

（參照上一解法評(píng)分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)直線方程為，則，設(shè)，則

由得.

由，,

解得，所以直線方程為.    …………………………………10分

（Ⅲ）設(shè)為橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則

設(shè)中點(diǎn)為,則,

由得，

又,所以

由點(diǎn)在橢圓內(nèi)知，，，解得，

即為直線在軸上截距的取值范圍.