Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2（a_n-1）（n∈N₊）．
（1）求數(shù){a_n}的前n項和為S_n；
（2）若b_n=log₂a_n+1（n≥1，n∈N），設(shè)T_n為數(shù)列{

1

(n+1)(bn-1)

}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先由數(shù)列遞推式求出首項，再由數(shù)列遞推式得到數(shù)列∴{S_n+2}是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù){a_n}的前n項和為S_n；
（2）求出等比數(shù)列的通項，代入b_n=log₂a_n+1求得b_n，進(jìn)一步代入數(shù)列{

1

(n+1)(bn-1)

}后由裂項相消法求其前n項和．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，S₁=a₁=2（a₁-1），∴a₁=2；
當(dāng)n≥2時，S_n=2S_n-2S_n-1-2，
即S_n+2=2（S_n-1+2），
而S₁+2=4≠0，
∴{S_n+2}是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴S_n=4•2^n-1-2=2ⁿ⁺¹-2．
當(dāng)n=1時，上式成立，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n+1=n+1，
而

1

(n+1)(bn-1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．