Question

【題目】設(shè)、為雙曲線上的兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn)

（1）確定的取值范圍

（2）試判斷、、、四點(diǎn)是否共圓？并說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】(1) (2) 答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）依題意，可設(shè)

代入雙曲線方程并整理得：

①

設(shè)點(diǎn)，則、為方程①的兩個(gè)不同實(shí)根，于是，

②且，

又為線段的中點(diǎn)，因此，

，

故

將代入式②得：，

又為線段的垂直平分線，故：，

將上式代入雙曲線方程并整理得：③

由題意，知方程③也有兩個(gè)不同實(shí)根，

則，

又，故.

（2）設(shè)點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，

則、為方程③的兩個(gè)根，

于是，，

故，，

從而，由弦長(zhǎng)公式得：

，

又方程①即，

類(lèi)似地，

顯然，，

又為線段的垂直平分線，

假設(shè)存在，使得、、、四點(diǎn)共圓則必為該圓的直徑其圓心為點(diǎn)，

又點(diǎn)到直線的距離為，

由勾股定理得：

，

又，則，

故當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)均在以為圓心、為半徑的圓上.