如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,E在CD延長線上,且DE=CD.動點P從點A出發(fā),沿正方形ABCD的邊按逆時針方向運動一周回到A點,其中
AP
AB
AE
,則下列命題正確的是
 
.(填上所有正確命題的序號)
①λ≥0,μ≥0;
②當(dāng)點P為AD中點時,λ+μ=1;
③若λ+μ=2,則點P有且只有一個;
④λ+μ的最大值為3;
AP
AE
的最大值為1.
考點:平面向量的基本定理及其意義
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為1,可以得到
AP
AB
AE
=(λ-μ,μ),然后根據(jù)相對應(yīng)的條件加以判斷即可.
解答: 解:由題意,設(shè)正方形的邊長為1,建立坐標(biāo)系如圖,
則B(1,0),E(-1,1),
AB
=(1,0),
AE
(-1,1),
AP
AB
AE
,
∴λ≥0,μ≥0;故①正確
AP
AB
AE
=(λ-μ,μ),
當(dāng)點P為AD中點時,
AP
=(0,
1
2
),
∴λ-μ=0,μ=
1
2
,
故λ+μ=1;故②正確,
當(dāng)λ=μ=1時,
AP
=(0,1),此時點P與D重合,滿足λ+μ=2,
當(dāng)λ=
3
2
,μ=
1
2
時,
AP
=(1,
1
2
),此時P是BC的中點,滿足λ+μ=2,
故③錯誤
當(dāng)P∈AB時,有0≤λ-μ≤1,μ=0,∴0≤λ≤1,0≤λ+μ≤1,
當(dāng)P∈BC時,有λ-μ=1,0≤μ≤1,∴λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3,
當(dāng)P∈CD時,有0≤λ-μ≤1,μ=1,∴μ≤λ≤μ+1,即1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3,
當(dāng)P∈AD時,有λ-μ=0,0≤μ≤1,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2,
綜上,0≤λ+μ≤3,
故④正確;
AP
AE
=(λ-μ,μ)•(-1,1)=-λ+2μ,有推理④的過程可知-λ+2μ的最大值為1,
綜上,正確的命題是①②④⑤.
故答案:①②④⑤
點評:本題考查向量加減的幾何意義,涉及分類討論以及反例的方法,是易錯題.
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