Question

設(shè)命題p：函數(shù)h（x）=lg（ax²-x+

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a）的值域?yàn)镽，命題q：不等式2-a＜a

2x+1

對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，如果“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：

分析：由二次函數(shù)和不等式的性質(zhì)分別可得p真和q真時(shí)的a的取值范圍，再由“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，p，q一真一假，分類(lèi)討論取并集可得．

解答： 解：對(duì)于命題p：當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)h（x）=lg（-x），定義域?yàn)椋?∞，0），值域?yàn)镽，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則為二次函數(shù)y=ax²-x+

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a，要滿(mǎn)足題意必須滿(mǎn)足二次函數(shù)值y能取到所有正實(shí)數(shù)，則要求其圖象開(kāi)口向上，△≥0，或a=0，
即

a＞0 △=1- a2 4 ≥0

，解得0＜a≤2；
則命題p為真時(shí)0≤a≤2；
對(duì)于命題q，不等式2-a＜a

2x+1

對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，
當(dāng)a≤0時(shí)，正數(shù)小于負(fù)數(shù)，不等式不成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，2-a＜a

2x+1

，即

2

a

-1＜

2x+1

對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，即

2

a

-1≤1，解得a≥1，
則命題q為真命題時(shí)a＞1，
若“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，可得命題p，q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，有

0≤a≤2 a＜1

，則0≤a＜1；
當(dāng)p假q真時(shí)，有

a＜0或a＞2 a≥1

，則a＞2；
綜上，是實(shí)數(shù)a的取值范圍{x|0≤a＜1或a＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題真假的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q為真命題的等價(jià)條件是解決這類(lèi)題的關(guān)鍵，屬于難題．