【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點，的周長為8，直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上兩動點，線段的中點為，的斜率分別為（為坐標原點），且，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)結合橢圓定義和的周長為8求出的值，再利用直線被橢圓截得的線段長為求出的值，即可得到橢圓的方程

(2)討論當的斜率不存在時和當的斜率存在時，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合求解的取值范圍

（1）根據(jù)題意，.

把代入橢圓方程得，，

因為直線被橢圓截得的線段長為，

所以，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）設，，由，得，

當的斜率不存在時，，，，又，

，這時.

當的斜率存在時，設直線，由得：

，

由得①

，，結合得

②

由①②知且，，，

綜上的取值范圍為.

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（Ⅲ）從學校的高一學生中任選4名學生，這4名學生中上學路上所需時間少于40分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望.（以直方圖中頻率作為概率）

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