Question

某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的治安滿意度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：
（1）若治安滿意度不低于9.5分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”．求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“極安全”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設A_i表示所取得人中有i個人是“極安全”，至多有一人是“極安全”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁），由此能求出至多有1人是“極安全”的概率．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，由已知得X～B（3，

1

4

），由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（1）設A_i表示所取得人中有i個人是“極安全”，
至多有一人是“極安全”記為事件A，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，
由已知得X～B（3，

1

4

），
P（X=0）=（

3

4

）³=

27

64

，
P（X=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
p（X=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

9

64

，
P（X=3）=(

1

4

)3=

1

64

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3 1 64
P	27 64	27 64	9 64

EX=3×

1

4

=

3

4

．

點評：本題主要考查概率、隨機變量分布列以及數(shù)學期望等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力．