Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，AB=AC=AD=6，P，Q分別是側(cè)面ABC和棱AD上動(dòng)點(diǎn)，PQ=4，M為線段PQ中點(diǎn)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以A為原點(diǎn)O，分別以AB、AC、AD為X軸、Y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得M的軌跡是以O(shè)（A）為球心，以4為半徑的

1

8

的球，由此能求出M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比．

解答： 解：以A為原點(diǎn)O，分別以AB、AC、AD為X軸、Y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀，0），Q（0，0，z₀），
設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y，z）
根據(jù)中點(diǎn)公式，x=

x0

2

，y=

y0

2

，z=

z0

2

，
以上三式兩邊平方，然后三式相加，
x²+y²+z²=

1

4

（x02+y02+z02），
∵AP²=x02+y02，
∴PQ²=AP²+AQ²=x02+y02+z02=4²=16，
∴x²+y²+z²=

1

4

×16=4，
∴M的軌跡是以O(shè)（A）為球心，以4為半徑的

1

8

的球，（只有1個(gè)象限，占總體積的

1

8

），

V球

8

=

1 3 ×4π×43

8

32

3

π，
V_A-BCD=

1

3

×6×(

1

2

×6×6)=36，
除去

1

8

的球體積為：V₂=36-

32

3

π，
∴M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：

V球

8

：V₂=

32π

3

：（36-

32π

3

）=8π：（27-8π）．
故答案為：8π：（27-8π）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．