Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=DC=

1

2

DD₁，過A₁、B、C₁三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，E、F分別為A₁B、BC₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面A₁BC₁與平面ABCD的夾角θ的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥A₁C₁，由平行公理得EF∥AC，由此能證明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）以D為坐標軸原點，以DA、DC、DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABCD的一個法向量和平面A₁BC₁的一個法向量，由此利用向量法能求出平面A₁BC₁與平面ABCD的夾角θ的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵在△A₁BC₁中，E、F分別為A₁B、BC₁的中點，
∴EF∥A₁C₁，
∵在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥A₁C₁，
∴EF∥AC，
∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：以D為坐標軸原點，以DA、DC、DD₁分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，不妨設(shè)AD=DC=

1

2

DD1=1，
則A（1，0，0），B（1，1，0），
C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），

A1B

=(0，1，-2)，

C1B

=(1，0，-2)，
∵DD₁⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一個法向量為

DD1

=（0，0，2），
設(shè)平面A₁BC₁的一個法向量為

n

=（a，b，c），
則

n • A1B =0 n • C1B =0

，即

b-2c=0 a-2c=0

，取a=1，得

n

=（1，1，

1

2

），
∴cosθ=|cos＜

n

，

DD1

＞|=|

DD1 • n

| DD1 |•| n |

|=

1

3

．
∴平面A₁BC₁與平面ABCD的夾角θ的余弦值為

1

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面的夾角的余弦值的求法，涉及到三角形中位線定理、平行公理、向量法等知識點，是中檔題．