已知.
(1)求的極值,并證明:若有;
(2)設,且,,證明:,
若,由上述結論猜想一個一般性結論(不需要證明);
(3)證明:若,則.
(1)詳見解析;(2) 詳見解析;(3) 詳見解析.
解析試題分析:(1)利用求導探求函數的單調性,進而確定其極值;借助結論時恒成立,證明;(2)借助第一問的結論,通過拼湊技巧進行構造要證明的不等式;(3)借助第二問的猜想結論,進行構造,利用對數運算進行化簡整理即可得到證明的結論.
試題解析:(1)則
當x∈(0,1)時,x∈(1,+∞)時,
∴在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
2分
∴當時恒成立,即時恒成立。
∴ 4分
證明:,
(2)證明:設,且,令,則,且
,,
由(1)可知 ①
②
①+②,得
∴ 8分
猜想:若,且時有
9分
(3)證明:令
由猜想結論得
=
∴,
即有。 14分
考點:(1)函數的極值;(2)不等式的證明.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知為函數圖象上一點,O為坐標原點,記直線的斜率.
(1)若函數在區(qū)間上存在極值,求實數m的取值范圍;
(2)當 時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;
(3)求證:.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如下圖,過曲線:上一點作曲線的切線交軸于點,又過作 軸的垂線交曲線于點,然后再過作曲線的切線交軸于點,又過作軸的垂線交曲線于點,,以此類推,過點的切線 與軸相交于點,再過點作軸的垂線交曲線于點(N).
(1) 求、及數列的通項公式;(2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為,求的表達式; (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為,求證:N.
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