Question

16．對于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；
（2）若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（x）的兩個不動點(diǎn)為x₁，x₂，且f（x₁）+x₂=$\frac{-a}{{2{a^2}+1}}$，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫出函數(shù)f（x）=x²+3x+1，利用不動點(diǎn)定義，列出方程求解即可．
（2）f（x）恒有兩個不動點(diǎn)，得到ax²+（b+1）x+（b-1）=x，通過b²-4a（b-1）＞0恒成立，利用判別式得到不等式求解即可．
（3）利用定義推出$b=\frac{a^2}{{2{a^2}+1}}$，通過換元令t=a²∈（0，1），任何求解b的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+3x+1，因?yàn)閤₀為不動點(diǎn)，
因此$f（{x_0}）=x_0^2+3{x_0}+1={x_0}$，所以x₀=-1，
所以-1為f（x）的不動點(diǎn)．（4分）
（2）因?yàn)閒（x）恒有兩個不動點(diǎn)，f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）=x，
ax²+bx+（b-1）=0（※），
由題設(shè)b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即對于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以（4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，所以0＜a＜1．（8分）
（3）因?yàn)?f（{x_1}）+{x_2}={x_1}+{x_2}=-\frac{a}=\frac{-a}{{2{a^2}+1}}$，所以$b=\frac{a^2}{{2{a^2}+1}}$，
令t=a²∈（0，1），則$b=\frac{t}{2t+1}，0＜t＜1$，$\frac{1}{t}＞1$，
∴2+$\frac{1}{t}$＞3，可得b=$\frac{1}{2+\frac{1}{t}}$∈（0，$\frac{1}{3}$）
∴$0＜b＜\frac{1}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立，不動點(diǎn)的定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及換元法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．