Question

14．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$，AB⊥AD，AB∥CD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)．
（I）求證：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH．推導(dǎo)出四邊形ABMH為平行四邊形，從而B(niǎo)M∥AH，由此能證明BM∥平面PAD．
（Ⅱ） 取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH．
因?yàn)?nbsp;M為${x_1}=-\sqrt{2}$中點(diǎn)，所以 $HM∥CD，HM=\frac{1}{2}CD$．
因?yàn)?AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$．所以AB∥HM且AB=HM．
所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以 BM∥AH．
因?yàn)?nbsp;BM?平面PAD，AH?平面PAD，
所以BM∥平面PAD．…..（5分）
解：（Ⅱ） 取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．
因?yàn)?nbsp;PA=PD，所以PO⊥AD．
因?yàn)?nbsp;平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．取BC中點(diǎn)K，連結(jié)OK，則OK∥AB．
以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則 $A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，4，0），D（-1，0，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0），\overrightarrow{PB}=（1，2，-\sqrt{3}）$．
平面BCD的法向量$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\\ \overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ x+2y-\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$令x=1，則$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（1，1，\sqrt{3}）$．
$cos＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{{n_{\;}}}＞=\frac{{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n|}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
由圖可知，二面角P-BC-D是銳二面角，
所以二面角P-BC-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．