Question

9．已知定義域為（0，+∞）、值域為R的函數(shù)f（x），對于任意x，y∈（0，+∞）總有f（xy）=f（x）+f（y）．當x＞1時，恒有f（x）＞0．
（1）求證：f（x）必有反函數(shù)；
（2）設f（x）的反函數(shù)是f^-1（x），若不等式f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1對任意的實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先令x=y=1，再令y=$\frac{1}{x}$，得到f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），再根據(jù)定義證明f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，即可證明，
（2）由（1）可知f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1等價于f[f^-1（-4^x+k•2^x-1）]＜f（1）恒成立，即-4^x+k•2^x-1＜0，分離參數(shù)，根據(jù)基本不等式即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令y=$\frac{1}{x}$，則f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），
∴f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），
在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，
則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂）+f（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=f（x₂）-f（x₁），
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
故f（x）一定存在反函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
∴f^-1（-4^x+k•2^x-1）＜1等價于f[f^-1（-4^x+k•2^x-1）]＜f（1）恒成立，
即-4^x+k•2^x-1＜0，
即k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
∴k＜2，
故k的取值范圍為（-∞，2）

點評 本題考查了反函數(shù)的定義函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．