Question

已知函數(shù)y=（

1

3

） x2-2x-1
（1）求函數(shù)的定義域與值域；
（2）確定函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質即可求出定義域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性和二次函數(shù)的最小值，即可求出值域，
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調性即可求出單調區(qū)間，同增異減．

解答： 解：（1）設u=x²-2x-1，
由于函數(shù)y=(

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3

)u和u=x²-2x-1的定義域都是（-∞，+∞），
故y=（

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3

） x2-2x-1的定義域為（-∞，+∞），
又u=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
因為函數(shù)y=(

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)u為減函數(shù)，0＜y≤(

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)-2=9，
故函數(shù)的值域為（0，9]．
（2）由二次函數(shù)的性質可知，u=x²-2x-1，在（-∞，1]上為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，
又函數(shù)y=(

1

3

)u為減函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，
函數(shù)y=（

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3

） x2-2x-1在（-∞，1]上為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)．

點評：本題主要考查了復合函數(shù)的定義域值域和單調性，屬于基礎題．