Question

12．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在R上的單調區(qū)間（無需使用定義嚴格證明，但必須有一定的推理過程）；
（3）當a＞2時，求函數(shù)g（x）=f（x）+|x|在R上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）≤1列不等式，對a進行討論解出a的范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向判斷單調區(qū)間；
（3）寫出g（x）的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質判斷g（x）的單調性，根據(jù)零點的存在性定理判斷．

解答 解：（1）f（0）=a²+|a|-a²+a=|a|+a，因為f（0）≤1，所以|a|+a≤1，
當a≤0時，0≤1，顯然成立；當a＞0，則有2a≤1，所以$a≤\frac{1}{2}$．所以$0＜a≤\frac{1}{2}$．
綜上所述，a的取值范圍是$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（{2a-1}）x，x≥a\\{x^2}-（2a+1）x+2a，x＜a\end{array}\right.$，
對于y=x²-（2a-1）x，其對稱軸為$x=\frac{2a-1}{2}=a-\frac{1}{2}＜a$，開口向上，
所以f（x）在（a，+∞）上單調遞增；          
對于y=x²-（2a+1）x，其對稱軸為$x=\frac{2a+1}{2}=a+\frac{1}{2}＞a$，開口向上，
所以f（x）在（-∞，a）上單調遞減．
綜上所述，f（x）在（a，+∞）上單調遞增，在（-∞，a）上單調遞減．
（3）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-2a）x，x≥a}\\{{x}^{2}-2ax+2a，0≤x＜a}\\{{x}^{2}-（2a+2）x+2a，x＜0}\end{array}\right.$．
∵y₁=x²+（2-2a）x的對稱軸為x=a-1，y₂=x²-2ax+2a的對稱軸為x=a，y₃=x²-（2a+2）x+2a的對稱軸為x=a+1，
∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
∵g（0）=2a＞0，g（a）=a²+（2-2a）a=2a-a²=-（a-1）²+1，
∵a＞2，∴g（a）=-（a-1）²+1在（2，+∞）上單調遞減，
∴g（a）＜g（2）=0．
∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一個零點．
綜上所述，當a＞2時，g（x）=f（x）+|x|有兩個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性的判斷，二次函數(shù)的性質，不等式的解法，分類討論思想，屬于中檔題．