Question

2．過(guò)拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AF與BF的長(zhǎng)分別為m，n，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值為（　　）

• A． 2a
• B． 4a
• C． $\frac{1}{2a}$
• D． $\frac{1}{4a}$

Answer 1

分析 方法一：拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：x²=$\frac{1}{a}$y，焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，$\frac{1}{4a}$），AB直線(xiàn)方程為y=kx+$\frac{1}{4a}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{4a}}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，整理得 ax²-kx-$\frac{1}{4a}$=0．x₁x₂=$\frac{1}{4}$，x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，y₁y₂=（kx₁+$\frac{1}{4a}$）（kx₂+$\frac{1}{4a}$）=$\frac{1}{16{a}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$，由拋物線(xiàn)的定義可知：m=y₁+$\frac{a}{4}$，n=y₂+$\frac{p}{2}$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{nm}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+\frac{a}{2}}{（{y}_{1}+\frac{p}{4}）（{y}_{2}+\frac{p}{4}）}$=$\frac{\frac{{k}^{2}+1}{a}}{\frac{{k}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=4a；
方法二：不妨設(shè)PQ的斜率 k=0，由焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{1}{4a}$，把直線(xiàn)方程 y=$\frac{1}{4a}$ 代入拋物線(xiàn)方程y=ax²，解得 x=±$\frac{1}{2a}$，丨AF丨=丨BF丨=$\frac{1}{2a}$，即m=n=$\frac{1}{2a}$，即可求得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值．

解答 解：方法一：拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：x²=$\frac{1}{a}$y，
∴焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{1}{4a}$，
設(shè)過(guò)F（0，$\frac{1}{4a}$）的AB直線(xiàn)方程為y=kx+$\frac{1}{4a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{4a}}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，整理得 ax²-kx-$\frac{1}{4a}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由韋達(dá)定理可知：x₁x₂=$\frac{1}{4}$，x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$，
y₁y₂=（kx₁+$\frac{1}{4a}$）（kx₂+$\frac{1}{4a}$）=$\frac{1}{16{a}^{2}}$，
根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)可知，m=y₁+$\frac{a}{4}$，n=y₂+$\frac{p}{2}$，
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{nm}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+\frac{a}{2}}{（{y}_{1}+\frac{p}{4}）（{y}_{2}+\frac{p}{4}）}$=$\frac{\frac{{k}^{2}+1}{a}}{\frac{{k}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=4a，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值為4a，

故選B．
方法二：不妨設(shè)PQ的斜率 k=0，
拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：x²=$\frac{1}{a}$y，
焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{1}{4a}$，
把直線(xiàn)方程 y=$\frac{1}{4a}$ 代入拋物線(xiàn)方程y=ax²，解得 x=±$\frac{1}{2a}$，
∴丨AF丨=丨BF丨=$\frac{1}{2a}$，即m=n=$\frac{1}{2a}$，
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=2a+2a=4a，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．