Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在平面，且AB=2AD=2．
（Ⅰ）求證：EA⊥EC；
（Ⅱ）設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個交點(diǎn)為F，
    ①求證：EF∥AB；
    ②若EF=1，求多面體ABCDEF的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，可得BC⊥平面ABE，再利用線面垂直的判定證明AE⊥面BCE，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）①先證明AB∥面CED，再利用線面平行的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；
②分別取AB、EF的中點(diǎn)為O、M，連接OM，利用V=V_D-AEF+V_E-ABCD，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵E是半圓上異于A、B的點(diǎn)，∴AE⊥EB，
又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，
由面面垂直性質(zhì)定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，
且二面交線為EB，由面面垂直性質(zhì)定理得：AE⊥平面CBE，
又EC在平面CBE內(nèi)，故得：EA⊥EC…（4分）
（Ⅱ①證明：由CD∥AB，得CD∥平面ABE，
又∵平面CDE∩平面ABE于直線EF，
∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得：CD∥EF，CD∥AB，故EF∥AB               …（7分）
②解：分別取AB、EF的中點(diǎn)為O、M，連接OM，則在直角三角形OME中，OM=

3

2

，
∵矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在平面，OM⊥AB，
∴OM⊥平面ABCD，即OM為M到面ABCD之距，
又∵EF∥AB，∴E到到面ABCD之距也為OM=

3

2

，…（9分）
∴V=V_D-AEF+V_E-ABCD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1+

1

3

×2×1×

3

2

=

5 3

12

           …（12分）

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面垂直，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．