Question

已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)若Sn＝(a1－1)·(a2－1)＋(a2－1)·(a3－1)＋…＋(an－1)·(an＋1－1)，是否存在a，b∈Z，使得a≤Sn≤b恒成立？若存在，求出a的最大值與b的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解　(1)由題意，知當(dāng)n≥2時，

所以bn－bn－1＝＝1(n∈N*，n≥2)．

所以{bn}是首項為b1＝＝－，公差為1的等差數(shù)列．

(2)由(1)，知bn＝n－.依題意，有Sn＝(a1－1)·(a2－1)＋(a2－1)·(a3－1)＋…＋(an－1)·(an＋1－1)＝·＋·＋…＋·＝－＝－－

設(shè)函數(shù)y＝，當(dāng)x>時，y>0，y′<0，則函數(shù)在上為減函數(shù)，

故當(dāng)n＝3時，Sn＝－－取最小值－.

而函數(shù)y＝在x<時，y<0，

上也為減函數(shù)，

故當(dāng)n＝2時，Sn取得最大值.

故a的最大值為－3，b的最小值為2.