Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(x-

π

3

)cosx+sinxcosx+

3

sin2x（x∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，B為銳角，且f（B）=

3

，AC=4

3

，D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AD，試求△ADC周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin(2x-

π

3

)．由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，可得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．又0＜B＜

π

2

，則可求得B=

π

3

，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，可得4

3

＜BC≤8．故可得周長最大值．

解答： 解：（1）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z

（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．又0＜B＜

π

2

，則-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，
從而2B-

π

3

=

π

3

，
∴B=

π

3

．
由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，
∴AD+DC=BD+DC=BC，
在△ABC中，由正弦定理，得

4 3

sin π 3

=

BC

sin∠BAC

，即BC=8sin∠BAC．
∵D是BC邊上一點(diǎn)，
∴

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin∠BAC≤1，知4

3

＜BC≤8．
當(dāng)∠BAC=

π

2

，C=

π

6

時(shí)，AD+CD取得最大值8，周長最大值為8+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．