Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分別是PO、AD、AB的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）若AB=1，求三棱錐O-EFG的高．

Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，由已知條件推導(dǎo)出AP⊥PC，EH⊥PC，F(xiàn)G⊥PC，由此能證明PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）由V_O-EFG=V_E-FOG得三棱錐O-EFG的高．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分別是PO、AD、AB的中點，
FG∥BD，
∴H為AO中點，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，
∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）解：設(shè)三棱錐O-EFG的高為h，則
由V_O-EFG=V_E-FOG得

1

3

×

1

2

×

2

2

×

1

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

2

4

×

1

3

∴h=

1

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．