Question

如圖所示，已知橢圓：的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)在橢圓上，直線和的斜率都存在且不為，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；

（Ⅲ）平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）

        橢圓E過點(diǎn)C，

        ，

       橢圓E的方程為。

 （Ⅱ）依題意，得D點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)D在橢圓E上，直線CP和DP的斜率和均存在，設(shè)P，則

。

又點(diǎn)P在橢圓E上，，， ，

直線CP和DP的斜率之積為定值。

（Ⅲ）直線CD的斜率為，CD平行于直線，

     設(shè)直線的方程為，

由，消去整理，得    設(shè)，

則

=

點(diǎn)C到直線MN的距離為

=

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

的面積最大值為2，此時(shí)直線的方程為。