Question

【題目】梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE= BD，BD=BC=CD= AB= AD=2，DE⊥BC．

（1）求證：DE⊥平面ABCD；
（2）求平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AC，交BD于O，

∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，

∵平面BDEF⊥平面ABCD，交線為BD，且AC平面ABCD，

∴AC⊥平面BDEF，

∵DE平面BDEF，∴DE⊥AC，

又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．

（2）

解：∵EF∥BD，EF= BD，且O是BD中點(diǎn)，∴ODEF是平行四邊形，

∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，

分別以O(shè)A，OB，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

A（1，0，0），C（﹣ ，0，0），E（0，﹣1，1），F(xiàn)（0，0，1），

=（﹣1，0，1）， =（0，1，0）， =（ ），

設(shè)平面AEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

設(shè)平面CEF的法向量 ，

則 ，取a=1，得 =（1，0，﹣ ），

∴cos＜ ＞= = = ．

即平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接AC，交BD于O，推導(dǎo)出AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，進(jìn)而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能證明DE⊥平面ABCD．（2）分別以O(shè)A，OB，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．