Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+6xcosα-16cosβ，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立．
（Ⅰ）求證：f（4）≥0，f（2）=0；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)g（x）=f（x）+（a+1）x²-8x-a+

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在x∈[1，4]存在零點(diǎn)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，取t=0，得f（2）≥0，且f（2）≤0，則f（2）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ），列出兩式，由余弦函數(shù)的值域，求出cosα，cosβ，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，符合題意．求出g（x）的表達(dá)式，討論a=0，a≠0，g（1）＞0，考慮零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，即可得到a的范圍．

解答： （Ⅰ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立．
取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，
取t=0，得f（3-cos0）≥0⇒f（2）≥0，f（1+2^-|0|）≤0⇒f（2）≤0，
則f（2）=0；                                      
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0⇒4cosβ=3cosα-1①
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0⇒4cosβ≤6cosα-4②
將①代入②，得cosα≥1，從而cosα=1，cosβ=

1

2

，
故f（x）=-x²+6x-8；           
（Ⅲ）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a符合題意．由（Ⅱ）知f（x）=-x²+6x-8，
從而g(x)=ax2-2x-a+

5

2

，
1）當(dāng)a=0時(shí)，零點(diǎn)為x=

5

4

，符合要求．   
當(dāng)a≠0時(shí)，由于g(1)=

1

2

＞0，
2）若g（x）在x∈[1，4]有兩個(gè)零點(diǎn)（含相等），則

△=4-4a(-a+ 5 2 )≥0 1＜ 1 a ≤4 g(4)=15a- 11 2 ≥0

⇒

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30

≤a≤

1

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，
3）若g（x）在x∈[1，4]有一個(gè)零點(diǎn)，則

a≠0 g(4)≤0

⇒a≤

11

30

且a≠0．
綜合可知：存在a，且a的范圍為：(-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法和函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查特值法解決問(wèn)題的方法和運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．