Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），0≤x≤π，且f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的垂直的條件和向量的數(shù)量積公式即可求出，
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求出，
（3）先化簡得到$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）$，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，0≤x≤π
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{3}{2}$sinx=0，
∴tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{3}{2}$sinx=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$
∴$x=\frac{π}{3}或π$；
（3）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的增區(qū)間$[0，\frac{2π}{3}）$，減區(qū)間$[\frac{2π}{3}，π]$；
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{2π}{3}）=\sqrt{3}$；$f{（x）_{min}}=f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的垂直以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．