Question

已知△ABC的三個頂點為A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H.

(1)若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

解：(1)線段AB的中垂線方程為x＝0，線段BC的中垂線方程為x＋y－3＝0.由此得外接圓的圓心H(0,3)．半徑r＝.

故⊙H的方程為x²＋(y－3)²＝10.

設圓心H到直線l的距離為d，則d＝＝3.

當直線l垂直x軸時，其方程為x＝3，此時與⊙H的交點為(3,4)和(3,2)，得弦長為2，符合題意．

當直線不垂直x軸時，可設l的方程為y－2＝k(x－3)，由圓心H到直線的距離d、半徑、半弦長構成直角三角形，得＝3.解得k＝.

此時直線l的方程為4x－3y－6＝0.

綜上直線l的方程為x＝3或4x－3y－6＝0.

(2)直線BH的方程為3x＋y－3＝0.

設P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，

∵點M是點P，N的中點，

∵M，N都在半徑為r的⊙C上，

∵關于x，y的方程組有解，即以C(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6－m,4－n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點，

∴(2r－r)²≤(m－3)²＋(n－2)²≤(2r＋r)².

又∵3m＋n－3＝0，

∴r²≤10m²－12m＋10≤9r².

而f(m)＝10m²－12m＋10＝10²＋在[0,1]上的值域為，故r²≤且9r²≥10.

又線段BH與圓C無公共點．

∴(m－3)²＋(3－3m－2)²>r²對任意m∈[0,1]恒成立，即r²<.

因此得⊙C的半徑的取值范圍是