Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；

（2）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得到切線斜率，再結(jié)合，二者聯(lián)立可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，及的值，進(jìn)而可求得切線方程；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，和三種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，從而可得到，再結(jié)合，，從而要證，只需證明即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)證明，即可證明結(jié)論成立.

（1）由，可得，

設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，，

故，解得，故，

所以切線方程為，即.

（2），，

則，

①當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，則，解得不成立，舍去，成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有一個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，令，則，解得成立，成立，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，

易知，故，

又，故，

所以要證，即證，

由，可知，

故只需證明即可，

構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，即成立，

所以.