Question

已知數(shù)列{a_n}滿足性質(zhì)：對于n∈N，a_n-1=

an+4

2an+3

，且a₁=3，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：用不動點(diǎn)法，解方程x=

x+4

2x+3

，得x₁=1，x₂=-2，由已知條件推導(dǎo)出{

an-1

an+2

}是以

3-1

3+2

=

2

5

為首項，公比為q=-5的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式．

解答： 解：用不動點(diǎn)法，解方程x=

x+4

2x+3

，得x₁=1，x₂=-2，
∵a_n-1=

an+4

2an+3

，且a₁=3，
∴

an-1-1

an-1+2

=

an+4 2an+3 -1

an+4 2an+3 +2

=

1-an

5an+10

=（-

1

5

）•

an-1

an+2

，
∴{

an-1

an+2

}是以

3-1

3+2

=

2

5

為首項，公比為q=-5的等比數(shù)列，
∴

an-1

an+2

=

2

5

•(-5)n-1，
故a_n=

5+4•(-5)n-1

5-2•(-5)n-1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．