Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，記P：?x∈R，e^x＜kx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn) P（0，f（0））處的切線的方程；
（2）若P為真，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若[x]表示不大于x的最大整數(shù)，試證明不等式ln

n+1

n

≤

1

n

（n∈N^*），并求S=[

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

]的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率及切點(diǎn)，運(yùn)用直線方程的形式即可得到；
（2）令h（x）=e^x-kx-1，求出導(dǎo)數(shù)，討論k，判斷單調(diào)區(qū)間，求得最值，結(jié)合不等式成立的條件，即可得到k的范圍；
（3）由（2）得k=1，p假，￢p真，即e^x≥x+1對x∈R恒成立，當(dāng)x+1＞0時(shí)，ln（x+1）≤x，令x=

1

n

，即有l(wèi)n

n+1

n

≤

1

n

，再令x=-

1

n

，即有l(wèi)n

n

n-1

≥

1

n

，分別累加，再由新定義即可求得S．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，
在點(diǎn) P（0，f（0））處的切線斜率為e⁰=1，切點(diǎn)為（0，1），
則切線方程為y=x+1；

（2）解：令h（x）=e^x-kx-1，h′（x）=e^x-k，
當(dāng)k≤0時(shí)，h′（x）=e^x-k＞0，h（x）在R上遞增，h（0）=0，x＜0時(shí)，h（x）＜0，p為真；
當(dāng)k＞0時(shí)，h′（x）=e^x-k=0，則x=lnk，令h′（x）＞0，則x＞lnk，令h′（x）＜0，則x＜lnk．
則h（x）在（-∞，lnk）上遞減，在（lnk，+∞）上遞增，
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，lnk＜0，對x∈（lnk，0），h（x）＜h（0）=0，p為真；
當(dāng)k＞1時(shí)，lnk＞0，對x∈（0，lnk），h（x）＜h（0）=0，p為真；
當(dāng)k=1時(shí)，h（x）最小值h（lnk）=k-klnk-1=0，h（x）≥0，p為假．
綜上可得，p真，則k的范圍是{k|k∈R且k≠1}；

（3）證明：由（2）得k=1，p假，￢p真，
即e^x≥x+1對x∈R恒成立，當(dāng)x+1＞0時(shí)，ln（x+1）≤x，
令x=

1

n

，即有l(wèi)n

n+1

n

≤

1

n

，
則

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≥ln

11

10

+ln

12

11

+ln

13

12

+…+ln

101

100

=ln

101

10

，
再令x=-

1

n

，即有l(wèi)n

n

n-1

≥

1

n

，
則

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≤ln

10

9

+ln

11

10

+ln

12

11

+…+ln

100

99

=ln

100

9

，
即有l(wèi)n

101

10

≤

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≤ln

100

9

，
又2＜ln

101

10

＜3，2＜ln

100

9

＜3，
則有2＜

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

＜3，
故有S=[

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

]=2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和不等式，結(jié)合累加法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯題．