Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥平面ABC．
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）當(dāng)k=

1

2

時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當(dāng)k為何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：方法一：（Ⅰ）首先利用中位線得出線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得出結(jié)論．
（Ⅱ）先作出線面角，由題意知，OD∥PA，故可轉(zhuǎn)化為求OD與面PBC的夾角問題，由題設(shè)條件知取BC的中點E，連PE，則O在線PE上的垂足必在PE上，設(shè)其為F，則可證得∠ODF所求的線面角，下?lián)�條件求之．
（Ⅲ）若F是重心，則必有BFD三點共線，又D是中點，故定有BC=PB，可求得k=1．

解答： （Ⅰ）證明：在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點
∴OD∥AP
∵AP?平面PAB，OD?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥BC  OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中點E，連結(jié)PE，
則：BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，
則：DF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO與平面PBC所成的角．
由OD∥PA
∴∠ODF是PA與平面PBC所成的角
在Rt△ODG中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

PA與平面PBC所成的角為：crsin

210

30

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影．
∵D是PC的中點，
若點F是△PBC的重心，
則：B、F、D三點共線．
所以，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD．
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即：k=1
反之，當(dāng)k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐．
O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心

點評：本題考查的知識要點：線面的夾角問題，及由位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求參數(shù)，重點考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．