Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和，若不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²對(duì)任何等差數(shù)列{a_n}及任何正整數(shù)n恒成立，則λ的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²對(duì)任何等差數(shù)列{a_n}及任何正整數(shù)n恒成立，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得n2

a

2 n

+n2(a1+an)2≥λn2

a

2 1

，當(dāng)a₁≠0時(shí)，化為λ≤2(

an

a1

+

1

2

)2+

1

2

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²對(duì)任何等差數(shù)列{a_n}及任何正整數(shù)n恒成立，
Sn=

n(a1+an)

2

，
∴n2

a

2 n

+n2(a1+an)2≥λn2

a

2 1

，
當(dāng)a₁≠0時(shí)，化為λ≤2(

an

a1

)2+2

an

a1

+1=2(

an

a1

+

1

2

)2+

1

2

，
當(dāng)

an

a1

=-

1

2

時(shí)，上式等號(hào)成立．
∴λ≤

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．