Question

已知存在正數(shù)a，b，c滿足

1

e

≤

c

a

≤2，clnb=a+clnc，則ln

b

a

的取值范圍是（　�。�

• A、[1，

  1

  2

  +ln2]
• B、[1，+∞）
• C、（-∞，e-1]
• D、[1，e-1]

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由clnb=a+clnc化為lnb=

a

c

+lnc，可得ln

b

a

=lnb-lna=

a

c

+lnc-lna=

a

c

+ln

c

a

，令

c

a

=x，可得ln

b

a

=f(x)=

1

x

+lnx，

1

e

≤x≤2．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：由clnb=a+clnc化為lnb=

a

c

+lnc，
∴ln

b

a

=lnb-lna=

a

c

+lnc-lna=

a

c

+ln

c

a

，
令

c

a

=x，則ln

b

a

=f(x)=

1

x

+lnx，

1

e

≤x≤2．
f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，令f′（x）=0，解得x=1．
當

1

e

≤x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當1＜x≤2時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1+ln1=1．
又f（2）=

1

2

+ln2，f(

1

e

)=e+ln

1

e

=e-1，
f(

1

e

)-f(2)=e-ln2-

3

2

＞e-lne-

3

2

=e-2.5＞0，
∴e-1＞

1

2

+ln2，
因此f（x）的最大值為e-1．
綜上可得：f（x）∈[1，e-1]．
即ln

b

a

的取值范圍是[1，e-1]．
故選：D．

點評：本題考查了經(jīng)過變形把問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．