Question

已知遞增等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=14，且a₃+1是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＜63成立的正整數(shù)n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₂+a₃+a₄=14，且a₃+1是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
∴a1q+a1q2+a1q3=14，2（a₃+1）=a₂+a₄，即2(a1q2+1)=a1q+a1q3．
聯(lián)立解得a₁=1，q=2；a₁=16，q=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是遞增等比數(shù)列，
取a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）可得S_n=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．
S_n＜63，即2ⁿ＜64，
因此使S_n＜63成立的正整數(shù)n的最大值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．