Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為

（1）在曲線上任取一點,連接,在射線上取一點，使,求點軌跡的極坐標方程；

（2）在曲線上任取一點,在曲線上任取一點,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出的極坐標方程，設(shè)出點的極坐標，通過構(gòu)建出與的等量關(guān)系，從而得出點軌跡的極坐標方程；

（2）先求出的普通方程，可以得到曲線是橢圓，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，的最小值即為橢圓上的點到直線距離的最小值，利用點到直線的距離求解最值。

解:（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

所以化為普通方程為，

故的極坐標方程為，

設(shè)，

則，即

，

點軌跡的極坐標方程為

（2）因為曲線的極坐標方程為

所以化為直角坐標方程為.

故可化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），

的最小值為橢圓上的點到直線距離的最小值.

設(shè)，則

，

。