Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+|x|+3
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷關(guān)于x的方程-x²+2|x|+3=a的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）去絕對值得到f（x）=

-x2+x+3=-(x- 1 2 )2+ 13 4 x≥0 -x2-x+3=-(x+ 1 2 )2+ 13 4 x＜0

，根據(jù)解析式可看出，每段函數(shù)的對稱軸，定點，及與y軸交點，根據(jù)這幾個值即可畫出函數(shù)圖象；
（2）通過函數(shù)圖象就能比較清楚的看出單調(diào)區(qū)間；
（3）關(guān)于方程解的個數(shù)就是函數(shù)y=-x²+2|x|+3與函數(shù)y=a交點的個數(shù)，所以根據(jù)（1）畫圖的方法，畫出函數(shù)圖象即可判斷原方程解的個數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）=

-x2+x+3=-(x- 1 2 )2+ 13 4 x≥0 -x2-x+3=-(x+ 1 2 )2+ 13 4 x＜0

；
∴該函數(shù)的圖象如下：
（2）由圖象可看出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為：
單調(diào)增區(qū)間是：（-∞，-

1

2

），[0，

1

2

]；單調(diào)遞減區(qū)間為：[-

1

2

，0)，(

1

2

，+∞)；
（3）方程-x²+2|x|+3=a的解的個數(shù)就是函數(shù)y=-x²+2|x|+3與y=a交點的個數(shù)，y=

-x2+2x+3=-(x-1)2+4 x≥0 -x2-2x+3=-(x+1)2+4 x＜0

，分別作這兩個函數(shù)的圖象如下：
由圖象可以看出，當(dāng)a=3時，圖象有3個交點，原方程有3個解；當(dāng)3＜a＜4時，原方程有4個解；a=4，或a＜3時，原方程有兩個解．

點評：考查含絕對值的函數(shù)的圖象的畫法，分段函數(shù)圖象的畫法，二次函數(shù)圖象的畫法，由圖象得到單調(diào)區(qū)間的方法，方程的解，和函數(shù)圖象的交點的關(guān)系．