Question

在直角坐標系xOy中，直線l過點P（-2，-4），傾斜角為

π

4

．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2acosθ（a＞0）．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程及曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，且|PM|•|PN|=40，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）由已知可得直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2acosθ（a＞0）可得ρ²sin²θ=2aρcosθ．即可得出普通方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t₁t₂=8（4+a），利用參數(shù)的意義即可得出．

解答： 解：（1）由直線l過點P（-2，-4），傾斜角為

π

4

．可得直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2acosθ（a＞0）可得ρ²sin²θ=2aρcosθ．
可得：曲線C的普通方程為：y²=2ax．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y²=2ax，
得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t₁t₂=8（4+a），
∵|PM||PN|=40，
∴t₁t₂=8（4+a）=40，解得a=1．

點評：本題考查了拋物線的極坐標方程化為普通方程、直線的參數(shù)方程及其應用，考查了計算能力，屬于基礎題．