Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有．當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直線，且和 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

①證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

②的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②存在，．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的值，即可求解拋物線的方程；（2）①設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，即可求解定點(diǎn)的坐標(biāo)；②中由①知直線過焦點(diǎn)，所以．設(shè)直線的方程為，再由直線的點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線的距離公式，再利用基本不等式即可求解結(jié)論．

試題解析：（1）由題意知，設(shè)，則的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，由拋物線的定義知，解得或（舍去）．由，解得，所以拋物線的方程為．

（2）①證明：由（1）知，設(shè)，因?yàn)?/span>，則，由得，，故，故直線的斜率，因?yàn)橹本�和直線平行，設(shè)直線的方程為，代人拋物線的方程得，由題意，得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可得直線的方程為，由，整理可得，直線恒過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線的方程為,過點(diǎn)．所以直線過定點(diǎn)．

②由①知直線過焦點(diǎn)，所以．設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故，設(shè)，直線的方程為，由，得，代人拋物線的方程得，所以，可求得．所以點(diǎn)到直線的距離為，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的面積的最小值為．