Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，已知a₁=1，且滿足3S_n²=a_n（3S_n-1）（n≥2）
（1）求證：{

1

Sn

}為等差數(shù)列
（2）設(shè)b_n=

Sn

3n+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把“當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1”代入3S_n²=a_n（3S_n-1），化簡(jiǎn)后取倒數(shù)，再由等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明；
（2）由（1）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)b_n，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 證明：（1）當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，代入3S_n²=a_n（3S_n-1），
得3S_n²=（S_n-S_n-1）（3S_n-1），化簡(jiǎn)得S_n-1-S_n=3S_n-1S_n，
兩邊同除以S_n-1S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
又a₁=1，則

1

S1

=1，
所以數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列是以1為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列；
解（2）由（1）得，

1

Sn

=1+3（n-1）=3n-2，
所以S_n=

1

3n-2

，則b_n=

Sn

3n+1

=

1

(3n+1)(3n-2)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想和靈活變形能力．