Question

橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂.點P(a，b)滿足|PF₂|＝|F₁F₂|.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點．若直線PF₂與圓(x＋1)²＋(y－)²＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c＞0)，

因為|PF₂|＝|F₁F₂|，

所以＝2c.

整理得2()²＋－1＝0.

即2e²＋e－1＝0，所以e＝或－1(舍)．

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x²＋4y²＝12c²，

直線PF₂的方程為y＝(x－c)．

A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組

消去y并整理，得5x²－8cx＝0.

解得x₁＝0，x₂＝c.得方程組的解

不妨設(shè)A，B(0，－c)，

所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.

圓心(－1，)到直線PF₂的距離

d＝

因為d²＋²＝4²，所以(2＋c)²＋c²＝16.整理得7c²＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以橢圓方程為＋＝1.