Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=sin（x+φ）+cos（x+Φ），則存在實(shí)數(shù)φ和Φ使得f（x）：
①是奇函數(shù)而非偶函數(shù)；
②是偶函數(shù)而非奇函數(shù)；
③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
④既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；
以上判斷中正確的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

=kπ時函數(shù)f（x）=±

2

sinx為奇函數(shù)判斷出①正確；當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

=kπ+

π

2

時，函數(shù)為余弦函數(shù)為偶函數(shù)判斷出②正確；當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

≠kπ時且φ+

π

4

≠kπ+

π

2

時函數(shù)非奇非偶，判斷出④正確．當(dāng)φ=

3π

2

，Φ=0時，f（x）=0，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故③正確．

解答： 解：①當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

=kπ時，f（x）=±

2

sinx，為奇函數(shù)非偶函數(shù)，故①正確．
②當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

=kπ+

π

2

時，f（x）=±

2

cosx，為偶函數(shù)非奇函數(shù)，故②正確．
③當(dāng)φ=

3π

2

，Φ=0時，f（x）=0，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故③正確．
④當(dāng)Φ=φ，φ+

π

4

≠kπ時且φ+

π

4

≠kπ+

π

2

時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．故④正確．
正確的序號為①②③④，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的奇偶性．判斷函數(shù)的奇偶性可參照函數(shù)的圖象來判斷．