Question

直線l過點（0，1），并與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于不同的A、B兩點，離心率為2，右焦點F（c，0）到右準線的距離等于

3

2

．
（1）求雙曲線方程；    
（2）求AB的長度；
（3）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出k的值；若不存在，寫出理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a =2 c- a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線方程．
（2）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求得兩交點A，B的橫坐標的和與積，由弦長公式求得弦長；
（3）把存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點轉化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數關系求解實數k的值

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）離心率為2，
右焦點F（c，0）到右準線的距離等于

3

2

，
∴

c a =2 c- a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，解得a2=

1

3

，b2=1，c2=

4

3

，
∴雙曲線方程為3x²-y²=1．
（2）∵直線l過點（0，1），
∴設直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
∵直線l雙曲線C：3x²-y²=1相交于不同的A、B兩點，
∴

3-k2≠0 △=4k2+8(3-k2)＞0

，解得k²＜6，且k²≠3，
x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，
|AB|=

1+k2

•

( 2k 3-k2 )2-4• -2 3-k2

=

2 -k4+5k2+6

|k2-3|

，k²＜6，且k²≠3．
（3）假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-2-2k2

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，
解得k=±1．
∴存在實數k=±1，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點．

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，訓練了利用直線斜率的關系判斷兩直線的垂直關系，是中檔題．